已知f1(x)=e^xsinx fn(x)=f'n-1(x) n>=2，求和fi(0)=?

已知f1（x）=exsinx，fn（x）=f'n-1（x），n≥2，则
2009

西格玛
i＝1

考点：导数的运算；数列的求和．
专题：计算题．
分析：利用乘积的导数的运算法则求出前几个fn（0）值，观察归纳得到一个等比数列，利用等比数列的前n项和公式求出值．
解答：解：∵f1（x）=exsinx
∴f2（x）=exsinx+excosx
f3（x）=2excosx
f4（x）=2excosx-2exsinx
f5（x）=-4exsinx=-4f1（x）
f6（x）=-4f2（x）
…
f1（0）=0；f2（0）=1；f3（0）=2；f4（0）=2；f5（0）=0；f6（0）=-4；f7（0）=-8；f8（0）=-8…
归纳得每四个的和构成一个5为首项，以-4为公比的等比数列
∴
2009

i＝1
fi(0)=
5[1−(−4)502]
5
+f2009（0）=1-4502
故答案为：1-4502
（不知道你求得是几到几得和，暂且当做是2009，如果是别的，方法一样）